Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Phần 1)

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC (PHẦN 1)

I/ Kiến thức cần thiết nhớ

Bạn đang xem: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Phần 1)

1. Định nghĩa đàng trung tuyến của tam giác

+ Đường trung tuyến của tam giác là đoạn trực tiếp mang 1 đầu là đỉnh của tam giác đầu cơ là trung điểm của cạnh team diện với đỉnh cơ.

+ Mỗi tam giác đem phụ thân đàng trung tuyến.

2. Tính hóa học phụ thân đàng trung tuyến của tam giác

Định lý 1: Ba đàng trung tuyến của một tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm gặp gỡ nhau của phụ thân đàng trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác cơ.

Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cơ hội từng đỉnh một khoảng tầm vì chưng \(\frac{2}{3}\) chừng lâu năm đàng trung tuyến trải qua đỉnh ấy.

Ví dụ:

Với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) (hình vẽ) tao có:

\(AG = \frac{2}{3}AD\,\,;\,\,BG = \frac{2}{3}BE\,\,;\,\,CG = \frac{2}{3}CF\)

3. Các dạng toán thông thường gặp

Dạng 1: Tìm những tỉ lệ thành phần Một trong những cạnh, tính chừng lâu năm đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý cho tới địa điểm trọng tâm của tam giác.

Với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(AB,BE,CF\) là phụ thân đàng trung tuyến tao có:

\(AG = \frac{2}{3}AD\,\,;\,\,BG = \frac{2}{3}BE\,\,;\,\,CG = \frac{2}{3}CF\)

Dạng 2: Đường trung tuyến với những tam giác đặc biệt quan trọng (tam giác cân nặng, tam giác đều, tam giác vuông)

Phương pháp:

Chú ý nhập tam giác cân nặng (hoặc tam giác đều) đàng trung tuyến ứng với cạnh lòng phân chia tam giác trở nên nhì tam giác đều nhau.

II/ Bài tập luyện vận dụng

1. Bài tập luyện trắc nghiệm

Câu 1: Chọn câu sai:

A. Trong một tam giác đem 3 đàng trung tuyến.

B. Các đàng trung tuyến của tam giác rời nhau bên trên một điểm.

C. Giao điểm của phụ thân đàng trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác cơ.

D. Một tam giác đem 2 trọng tâm.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức và kỹ năng về phụ thân đàng trung tuyến của tam giác:

“Ba đàng trung tuyến của một tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm gặp gỡ nhau của phụ thân đàng trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác cơ.”

Lời giải:

Một tam giác chỉa có một trọng tâm nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 2: Điền số tương thích và điểm chấm: “Trọng tâm của một tam giác cơ hội từng đỉnh một khoảng tầm vì chưng chừng lâu năm đàng trung tuyến trải qua đỉnh ấy.”

A. \(\frac{2}{3}\)                B. \(\frac{3}{2}\)                  C. \(\frac{1}{2}\)                     D. \(2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm trọng tâm tam giác.

Lời giải:

Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cơ hội từng đỉnh một khoảng tầm vì chưng \(\frac{2}{3}\) chừng lâu năm đàng trung tuyến trải qua đỉnh ấy.

Vậy số cần thiết điền là \(\frac{2}{3}.\)

Chọn A.

Câu 3: Cho hình vẽ sau:

Điền số tương thích và điểm chấm: \(BG = ...BE.\)

A. \(\frac{1}{2}\)                 B. \(\frac{1}{3}\)                      C. \(\frac{2}{3}\)                    D. \(2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm phụ thân đàng trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Ta đem \(AD,BE,CF\) là phụ thân đàng trung tuyến của \(\Delta ABC\) và bọn chúng rời nhau bên trên \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\)

Theo đặc điểm phụ thân đàng trung tuyến của tam giác tao có:

\(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BE.\)

Vậy số tương thích điền và điểm chấm là \(\frac{2}{3}.\)

Chọn C.

Câu 4: Sử dụng hình vẽ ở câu 3 điền số tương thích và điểm chấm: \(AG = ...GD.\)

A. \(\frac{1}{2}\)                    B. \(\frac{1}{3}\)                     C. \(\frac{2}{3}\)                     D. \(2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm phụ thân đàng trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Theo câu 3, tao đem \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\)

Theo đặc điểm phụ thân đàng trung tuyến của tam giác tao có:

\(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{GD}} = 2 \Rightarrow AG = 2GD.\)

Vậy số tương thích điền và điểm chấm là \(2.\)

Chọn D.

Câu 5: Cho tam giác ABC. Trên đàng trung tuyến AM của tam giác cơ, lấy nhì điểm D, E sao mang đến AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn trực tiếp DE. Khi cơ trọng tâm của tam giác ABC là:

A. Điểm \(D\)                            B. Điểm \(E\)

C. Điểm \(O\)                            D. Cả A, B, C đều sai.

Xem thêm: 3+ Cách Tải Video Trên Facebook Về Điện Thoại Đơn Giản, Hiệu Quả

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm trọng tâm của tam giác.

Lời giải:

\(AD = DE = EM = \frac{1}{3}AM \Rightarrow AE = \frac{2}{3}AM\)

Do khoảng cách kể từ trọng tâm cho tới một đỉnh của tam giác vì chưng \(\frac{2}{3}\) chừng lâu năm đàng trung tuyến trải qua đỉnh này mà \(AE = \frac{2}{3}AM\)

\( \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Chọn B.

Câu 6: Cho tam giác ABC, bên trên đàng trung tuyến AD. Gọi G là vấn đề nằm trong lòng A và D sao cho \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}.\) Tia BG rời AC bên trên E, tia CG rời AB bên trên F. Khẳng toan nào là tại đây sai?

A. \(\frac{{BG}}{{EG}} = 2.\)

B. \(\frac{{FG}}{{CG}} = \frac{2}{3}.\)

C. \(E\) là trung điểm của cạnh \(AC.\)

D. \(F\) là trung điểm của cạnh \(AB.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm trọng tâm và đặc điểm phụ thân đàng trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Do \(AD\) là đàng trung tuyến của tam giác \(ABC\) nhưng mà \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Mặt không giống, \(BG\) rời \(AC\) bên trên \(E,\,\,CG\) rời \(AB\) bên trên \(F\)

\( \Rightarrow BE,CF\) theo thứ tự là hai tuyến phố trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow E,F\) theo thứ tự là trung điểm của cạnh \(AC,AB.\)

Theo đặc điểm của phụ thân đàng trung tuyến tao có:

\(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{BG}}{{EG}} = 2\,\,;\,\,\frac{{CG}}{{CF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{FG}} = 2 \Rightarrow \frac{{FG}}{{CG}} = \frac{1}{2}\)

Do cơ đáp án B sai.

Chọn B.

Câu 7: Cho tam giác ABC với đàng trung tuyến BD, CE, AM.

Chọn  xác minh chính trong những xác minh bên dưới đây:

A. Nếu tam giác ABC cân nặng bên trên A thì BD = CE

B. Nếu BD = CE thì tam giác ABC cân nặng bên trên A

C. Nếu tam giác ABC đều thì BD = CE = AM

D. Tất cả những xác minh bên trên đều chính.

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm tam giác đều nhau và những đặc điểm của tam giác cân nặng, tam giác đều.

Lời giải:

+ Nếu tam giác ABC cân nặng bên trên A suy rời khỏi \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC \Rightarrow AE = AD\\\angle ABC = \angle ACB\end{array} \right.\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ABD\) tao có:

\(\begin{array}{l}AE = AD\\AC = AB\\\angle A\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ACE = \Delta ABD\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow CE = BD \Rightarrow \) đáp án A chính.

+ Nếu BD = CE. Gọi kí thác điểm của BD và CE là G, vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra: GE = GD ; GB = GC.

Xét \(\Delta EGB\) và \(\Delta DGC\) có:

\(\begin{array}{l}GE = GD\\GB = GC\\\angle BGE = \angle CGD\,\,\,\left( {2\,\,goc\,\,doi\,\,dinh} \right)\\ \Rightarrow \Delta EGB = \Delta DGC\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow EB = DC \Rightarrow AB = AC\end{array}\)

Suy rời khỏi tam giác ABC cân nặng bên trên A nên đáp án B chính.

+ Nếu tam giác ABC đều thì nó cân nặng bên trên A và B, kể từ cơ tao minh chứng được 3 đàng trung tuyến đều nhau.

Do cơ đáp án C chính.

Vậy cả 3 đáp án đều chính.

Chọn D.

Câu 8: Cho tam giác ABC đem đàng trung tuyến AM. Gọi G là vấn đề nằm trong tia AM sao cho AG = 2AM. Chọn xác minh chính trong những xác minh bên dưới đây:

A. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)

B. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}}\)

C. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{3}{8}{S_{ABC}}\)

D. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng đặc điểm trọng tâm và đặc điểm phụ thân đàng trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Do \(AG = 2AM\) nên \(AG = \frac{2}{3}AM.\)

Suy rời khỏi G là trọng tâm tam giác ABC.

Do M là trung điểm của BC nên \({S_{\Delta AMB}} = {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}.\)

Do \(AG = \frac{2}{3}AM\) nên \({S_{\Delta GAB}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta ABM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\)

Tương tự động tao có: \({S_{\Delta GBC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\,\,;\,\,{S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\)

Xem thêm: Tài sản, sự giàu có bậc nhất showbiz của Trấn Thành

Vậy \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\)

Chọn A.