Đường trung tuyến là gì? Cách chứng minh đường trung tuyến

Đường trung tuyến là một trong những kỹ năng và kiến thức Toán học tập cần thiết so với chúng ta học viên lớp 7, 8, 9, quan trọng đặc biệt là lớp 10. Vậy hình đường trung tuyến là gì và cách đường trung tuyến ra sao?

Sau trên đây, đội ngũ INVERT chúng tôi tiếp tục chỉ dẫn chúng ta hiểu rằng đàng trung tuyến là gì & cơ hội minh chứng đàng trung tuyến vô nằm trong đơn giản và giản dị, cụ thể, dễ hiểu trải qua nội dung bài viết sau.

Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Cách chứng minh đường trung tuyến

I. Định nghĩa đàng trung tuyến là gì?

Định nghĩa: Đường trung tuyến của đoạn trực tiếp đó là đường thẳng liền mạch trải qua trung điểm của đoạn trực tiếp bại.

Đường trung tuyến của tam giác: Là đoạn trực tiếp nối kể từ đỉnh của tam giác cho tới trung điểm của cạnh đối lập vô hình học tập phẳng lì. Mỗi tam giác sở hữu 3 đàng trung tuyến.

Đối với tam giác cân nặng và tam giác đều: Mỗi trung tuyến của tam giác phân chia song những góc ở đỉnh với 2 cạnh kề sở hữu chiều nhiều năm đều bằng nhau. Trong hình học tập không khí, mặt mũi trung tuyến vô tứ diện cũng có khái niệm tương tự động.

II. Tính hóa học của đàng trung tuyến vô tam giác

1. Tính hóa học đàng trung tuyến vô tam giác thường

- Đồng quy bên trên 1 điểm: Ba đàng trung tuyến của tam giác đồng quy bên trên một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

Khoảng cơ hội kể từ trọng tâm của tam giác cho tới đỉnh bởi vì 2/3 chừng nhiều năm đàng trung tuyến ứng với đỉnh bại.

4. Tính hóa học đường trung tuyến trong tam giác đều

Định lý đường trung tuyến trong tam giác đều:

3 đàng trung tuyến của tam giác đều tiếp tục phân chia tam giác bại trở thành 6 tam giác sở hữu diện tích S đều bằng nhau.
Trong tam giác đều đường thẳng liền mạch trải qua một đỉnh ngẫu nhiên và trải qua trọng tâm của tam giác tiếp tục phân chia tam giác bại trở thành 2 tam giác sở hữu diện tích S đều bằng nhau.

Cụ thể: ΔABC đều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB = SBFA = SBFC

Cách tính đàng trung tuyến: Độ nhiều năm đàng trung tuyến được tính bởi vì căn bậc 2 của 1 phần 2 tổng bình phương nhị cạnh kề. Sau bại trừ cút 1 phần tư bình phương cạnh đối.

Cho a, b, c thứu tự là chừng nhiều năm 3 cạnh của tam giác, chừng nhiều năm 3 đàng trung tuyến tao rất có thể tính bằng phương pháp vận dụng ấn định lý Apollonius như sau:

Trong đó:

a, b, c: là các cạnh của tam giác.
ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

*Công thức tương quan cho tới chừng nhiều năm của trung tuyến

IV. Cách minh chứng đàng trung tuyến

1. Cách minh chứng đàng trung tuyến vô tam giác thường

- Cách 1: Chứng minh đàng bại nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối lập.

Ví dụ: Tam giác ABC sở hữu D là trung điểm BC

=> AD là đàng trung tuyến của tam giác ABC

- Cách 2: Chứng minh khoảng cách kể từ trọng tâm cho tới từng đỉnh của tam giác bởi vì ⅔ đàng trung tuyến ứng với đỉnh bại.

Ví dụ: Tam giác ABC sở hữu điểm G thỏa mãn nhu cầu AG = 2/3 AD (D ∈ BC)

=> AD là đàng trung tuyến của tam giác ABC

- Cách 3: Chứng minh khoảng cách kể từ trọng tâm cho tới trung điểm của từng cạnh bởi vì ⅓ đàng trung tuyến ứng với điểm bại.

Ví dụ: Tam giác ABC sở hữu điểm G thỏa mãn nhu cầu GD = 1/3 AD (D ∈ BC)

=> AD là đàng trung tuyến của tam giác ABC

2. Cách minh chứng đàng trung tuyến trọng tam giác cân

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A sở hữu phụ vương đàng trung tuyến AE, BF và CG. Khi bại tao sở hữu một trong những đặc điểm sau:

Tam giác ABE và tam giác ACE là nhị tam giác bởi vì nhau;
Số đo của nhị góc AEB và góc AEC đều bằng nhau và bởi vì 90 chừng hoặc đàng trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC;
Hai đàng trung tuyến BF và CG có tính nhiều năm đều bằng nhau.

Chứng minh những đặc điểm trên:

(1) Do AE là đàng trung tuyến của tam giác AMN nên tao có: BE = CE.

Lại sở hữu tam giác ABC cân nặng bên trên A nên tao được: AB = AC và góc ABE = góc ACE.

Xét tam giác ABE và tam giác ACE tao có:

+ AB = AC

+ BE = CE

+ AE công cộng.

Suy rời khỏi tam giác ABE và tam giác ACE là nhị tam giác đều bằng nhau (c.c.c).

(2) Do tam giác ABE và tam giác ACE là nhị tam giác đều bằng nhau theo đuổi minh chứng bên trên.

Khi bại tao được: góc AEB = góc AEC.

Mà góc AEB + AEC = 180º (tính hóa học nhị góc kề bù).

Từ những điều bên trên tao suy ra: Số đo của nhị góc AEB và góc AEC đều bằng nhau và bởi vì 90 chừng.

Do bại tao có: Đường trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC.

(3) Do BF và CG là hai tuyến phố trung tuyến của tam giác AMN nên tao có: AG = BG và AF = CF.

Suy rời khỏi AB = 2AG và AC = 2AF.

Lại sở hữu tam giác ABC cân nặng bên trên A nên tao được: AB = AC.

Khi bại tao được: AB = AC = 2AG = 2AF hoặc AG = AF.

Xét tam giác AFB và tam giác AGC có:

+ AG = AF

+ Góc A chung

+ AB = AC

Do bại tam giác AFB và tam giác AGC là nhị tam giác đều bằng nhau (c.g.c).

Suy rời khỏi BF = GC.

Khi bại, tao được: Hai đàng trung tuyến BF và CG có tính nhiều năm đều bằng nhau.

3. Chứng minh đàng trung tuyến vô tam giác vuông

Tính hóa học đàng trung tuyến vô tam giác vuông:

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi vì nửa cạnh huyền ấy.
Nếu một tam giác sở hữu trung tuyến ứng với cùng 1 cạnh bởi vì nửa cạnh bại thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Chứng minh những đặc điểm trên:

Đề Bài : Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

1. Nếu = 900 thì MA = 2 BC

2. Nếu MA = 2 BC thì góc(A) = 90°.

Giải: Xét tam giác ABC sở hữu M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao mang đến MN = MA.

Ta có:

góc(AMB) = góc(NMC) (đối đỉnh)

BM = CM (giả thiết)

MA = MN (dựng hình)

Suy ra: tam giác MAB = tam giác MNC (c.g.c)

Suy ra: NC = AB và góc(MBA) = góc(MCN)

a) Do góc(MBA) = góc(MCN) nên AB II NC suy rời khỏi góc(BAC) + góc(ACN) = 180.

Nếu góc(BAC) = 900 thì góc(ACN) = 900.

Khi bại tao có: tam giác ABC = tam giác CNA (c.g.c) vì như thế sở hữu AC chung; AB = NC (cmt) và góc(BAC) = góc(ACN) = 900.

Ta có: AN = BC => AM = 2 BC

b) Ta có: MA = 2 AN. Nếu MA = 2 BC thì AN = BC.

Lại sở hữu AB = công nhân (cmt)

Suy rời khỏi tam giác ABC = tam giác CNA (c.c.c), suy ra: góc(BAC) = góc(ACN)

Mà góc(BAC) + góc(ACN) = 180° (vì AB // CA) nên góc(BAC) = 90° (dpcm)

V. Một số bài xích tập luyện về đàng trung tuyến

1. Bài tập luyện đàng trung tuyến sở hữu điều giải

Câu 1: Tam giác ABC sở hữu trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ nhiều năm đoạn AG là:

A. 4,5cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 4cm

Đáp án: C.

Câu 2: Cho tam giác ABC cân nặng. Biết AB=AC=10cm, BC=12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:

A. 22cm

B. 2cm

C. 6cm

D. 8cm

Đáp án: D

Câu 3: Cho tam giác ABC có nhị đường trung tuyến BM và công nhân. Nếu BM = công nhân thì ΔABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Đáp án: A.

Bài 4: Cho tam giác ABC sở hữu 2 đàng đường kính trắng trung truyến AA’ và BB’ hạn chế nhau bên trên điểm O. Yêu cầu: Tính diện tích S tam giác ABC, biết diện tích S tam giác AOB bởi vì 5(đvdt)

Giải:

S(AOB) = ⅔ S(AA’B) (vì AO = ⅔ AA’)

S(ABA’) = ½ S(ABC) (vì BA’ = ½ BC)

Từ bại suy ra: S(ABC) = 2S(ABA’) = 3S(AOB)

Theo đề bài xích tao có: S(AOB) = 5(đvdt) => S(ABC) = 3.5 =15(đvdt).

Bên bên trên là kỹ năng và kiến thức tổng quát lác về đàng trung tuyến của tam giác và một trong những dạng toán tương quan. Hy vọng nội dung bài viết rất có thể mang lại lợi ích mang đến chúng ta vô quy trình tiếp thu kiến thức.

Bài 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G’ sao mang đến G là trung điểm của đoạn AG’. Yêu cầu so sánh sánh:

a. Những cạnh của tam giác BGG’ với những đàng trung tuyến của tam giác ABC.

b. Những đàng trung tuyến của tam giác BGG’ với những cạnh của tam giác ABC.

Giải:

a. Ta sở hữu BG hạn chế AC bên trên điểm N, CG hạn chế AB bên trên điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> GA = ⅔ AM

Vì G là trung điểm của AG’ => GA =GG’

Suy ra: GG’ = ⅔ AM

Theo fake thuyết tao sở hữu G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GB = ⅔ BN

Mặt khác: GM = ½ AG (vì G là trọng tâm)

AG = GG’ => GM = ½ GG’

M là trung điểm của đoạn GG’

Vì GM = MG’ và MB = Mc => tam giác GMC = tam giác G’MB

Suy ra: BG’ = CG

Mà CG = ⅔ CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)

=> BG’ = ⅔ CE

Vậy từng cạnh của tam giác BGG’ bởi vì ⅔ những đàng trung tuyến của tam giác ABC.

b. Ta sở hữu BM là đàng trung tuyến của tam giác BGG’

mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = ½ BC

I là trung điểm của BG => IG = ½ BG

G là trọng tâm tam giác ABC => GN = ½ BG

Suy ra: IG = GN

=> tam giác IGG’ = tam giác NGA theo đuổi tình huống cạnh.góc.cạnh

=>IG’ = AN =>IG’ = ½ AC

Gọi K là trung điểm của đoạn BG => GK là trung tuyến của tam giác BGG’

Mặt không giống, vì như thế G là trọng tâm của tam giác ABC => GE = ½ GC

Mà K là trung điểm của BG’ => KG” = EG

Vì tam giác GMC = tam giác G’BM (chứng minh trên)

=> tam giác GCM = tam giác G’BM theo đuổi tình huống góc so sánh le trong

=>CE//BG => tam giác AGE = tam giác AG’B theo đuổi tình huống đồng vị

Do bại tam giác AGE = tam giác GG’K (c.g.c) => AE = GK

Mà AE = ½ AB nên GK = ½ AB

Vậy từng đàng trung tuyến của tam giác BGG’ bởi vì ½ những cạnh của tam giác ABC.

Câu 6: Cho ΔABC có BM, công nhân là hai tuyến phố trung tuyến hạn chế nhau bên trên G. Kéo nhiều năm BM lấy đoạn ME=MG. Kéo nhiều năm công nhân lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

a) EF=BC

b) Đường trực tiếp AG trải qua trung điểm BC.

Giải:

a) Ta sở hữu BM và công nhân là hai tuyến phố trung tuyến gặp gỡ nhau bên trên G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

⇒ GC = 2GN

mà FG = 2GN ⇒ GC=GF

Tương tự động BG, GE và ∠G₁ = ∠G₂ (đd). Do đó ΔBGC = ΔEGF(c.g.c))

Suy rời khỏi BC = EF

b.) G là trọng tâm nên AG đó là đàng trung tuyến loại phụ vương vô tam giác ABC nên AG trải qua trung điểm của BC.

Câu 7: Cho hai tuyến phố trực tiếp x’x và y’y gặp gỡ nhau ở O. Trên tia Ox lấy nhị điểm A và B sao mang đến A nằm trong lòng O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy nhị điểm L và M sao mang đến O là trung điểm của đoạn trực tiếp LM. Nối B với L, B với M và gọi Phường là trung điểm của đoạn trực tiếp MB, Q là trung điểm của đoạn trực tiếp LB. Chứng minh những đoạn trực tiếp LP và MQ trải qua A.

Giải:

Ta sở hữu O là trung điểm của đoạn LM (gt)

Suy rời khỏi BO là đàng trung tuyến của ΔBLM (1)

Mặt không giống BO = BA + AO vì như thế A nằm trong lòng O, B hoặc BO = 2 AO + AO= 3AO vì như thế AB = 2AO (gt)

Suy rời khỏi AO= ⅓BO hoặc BA= ⅔BO (2)

Từ (1) và (2) suy rời khỏi A là trọng tâm của ΔBLM ( đặc điểm của trọng tâm)

mà LP và MQ là những đàng trung tuyến của ΔBLM vì như thế Phường là trung điểm của đoạn trực tiếp MB (gt)

suy rời khỏi những đoạn trực tiếp LP và MQ đều trải qua A ( đặc điểm của phụ vương đàng trung tuyến)

Câu 8: Cho tam giác ABC cân nặng ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Giải:

a, Ta sở hữu AM là đàng trung tuyến của ΔABC nên MC = MB

Mặt không giống ΔABC cân nặng bên trên A

=> AM vừa vặn là đàng trung tuyến và đàng cao

Vậy AM vuông góc với BC

b, Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông bên trên M

Áp dụng Định lý Pitago có:

AC² = AM² + MC² => 17² = AM² + 8² => AM² = 17² – 8² = 225 => AM = 15 cm

Câu 9: Cho tam giác ABC. D nằm trong tia đối của tia AB sao mang đến AB = AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao mang đến chừng dài AE = 1/3 AC. Tia BE hạn chế CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = 1/2 BC

Giải:

a, Xét tam giác BDC sở hữu AB = AD => AC là đàng trung tuyến của tam giác BDC

Mặt khác

AE = 1/3 AC => CE = 2/3 AC.

Suy rời khỏi E đó là trọng tâm tam giác BDC

M là uỷ thác của BE và CD

Vậy BM là đàng trung tuyến tam giác BDC

Vậy M là trung điểm của cạnh CD

b, A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy rời khỏi AM là đàng tầm của tam giác BDC

Suy rời khỏi AM = 1/2 BC

Câu 10: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC. Gọi BF, AD, CE là những đàng trung tuyến tam giác ABC hoặc F, D, E thứu tự là trung điểm cạnh AC, BC, AB

Giải:

Gọi AD, BE, CF là những đàng trung tuyến của ΔABC hoặc D,E,F thứu tự là trung điểm của những cạnh BC, AB, AC

Ta sở hữu AD là đàng trung tuyến tam giác ABC nên AG= 2/3 AD(1)

CE là đàng trung tuyến tam giác ABC nên CG= 2/3 CE(2)

BF là đàng trung tuyến tam giác ABC nên BG= 2/3 BF(3)

Ta sở hữu ΔBAC đều =>AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy rời khỏi AG = CG = BG

2. Bài tập luyện đàng trung tuyến không tồn tại điều giải

Câu 1: Cho tam giác ABC sở hữu hai tuyến phố trung tuyến BM và công nhân. Nếu BM = công nhân thì tam giác ABC là tam giác gì?

Xem thêm: Đặt Vé Máy Bay Giá Rẻ, Khuyến Mãi Tốt Nhất 2024

A. tam giác cân

B. tam giác vuông

C. tam giác đều

D. tam giác vuông cân

Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), đàng trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao mang đến MD = MA.

a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC và AB // CD

b, Gọi F là trung điểm CD, tia FM hạn chế AB bên trên K. Chứng minh M là trung điểm KF

c, Gọi E là trung điểm của AC, BE hạn chế AM bên trên điểm G, I là trung điểm của AF. Chứng minh phụ vương điểm K, G và I trực tiếp hàng

Câu 3: Trên đàng trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy nhị điểm I và G sao mang đến AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

a, Chứng minh B, G, E trực tiếp sản phẩm và đối chiếu BE và GE

b, CI hạn chế GE tạo ra O, điểm O là gì của tam giác ABC. Chứng minh BE = 9 OE

Câu 4: Giả sử hai tuyến phố trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có tính nhiều năm đều bằng nhau và hạn chế nhau bên trên G.

a, Tam giác BGC là tam giác gì?

b, So sánh tam giác BCD và tam giác CBE

c, Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông bên trên A, đàng trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao mang đến MD = MA

a, Tính số đo của ABD

b, Chứng minh góc ABC = góc BAD

c, So sánh chừng nhiều năm AM = BC

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AB = 8 centimet, BC = 10 centimet lấy điểm M bên trên cạnh AB sao mang đến BM = 4 centimet. lấy điểm D sao mang đến A là trung điểm của DC.

a, Tính AD

b, Điểm M là gì của tam giác BCD

c, Gọi E là trung điểm của BC, minh chứng D, M, E trực tiếp hàng

Câu 7: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), đàng trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao mang đến MD = MA

a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC và AB // CD

b, Gọi F là trung điểm CD, tia FM hạn chế AB bên trên K. Chứng minh M là trung điểm KF.

c, Gọi E là trung điểm của AC, BE hạn chế AM bên trên G, I là trung điểm của AF. Chứng minh K, G và I trực tiếp hàng

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông bên trên A sở hữu AB = 8 centimet, BC = 10 centimet, lấy điểm M bên trên cạnh AB sao mang đến BM = 4 centimet, lấy điểm D sao mang đến A là trung điểm của DC.

a, Tính AD

b, Điểm M là gì của tam giác BCD

c, Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh D, M, E trực tiếp hàng

Câu 9: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao mang đến AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao mang đến AE = 1/3AC. Tia BE hạn chế CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = 50% BC

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, sở hữu AB = 20cm, AC = 26cm. Tính tổng những khoảng cách kể từ trọng tâm G của tam giác cho tới những đỉnh của tam giác.

3. Cách minh chứng đàng trung tuyến lớp 7

Bài 23- Trang 66 SGK Toán 7: Cho điểm G là trọng tâm tam giác DEF đàng trung tuyến của tam giác là DH. Trong những xác minh tiếp sau đây, xác minh này là đích ?

DG/DH=1/2; DGGH=3

GH/DH=1/3; GH/DG=2/3

Giải:

G là trọng tâm của tam giác DEF với DH là đàng trung tuyến . Ta có:

GD/DH=2/3⇒GH/DH=1/3

Vậy khẳng định GH/DH=1/3 là đích và những xác minh sót lại sai.

Bài 24- Trang 66 SGK Toán 7: Dựa vô hình 25 tiếp sau đây nhằm điền số phù hợp vô khu vực rỗng :

a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG

b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS

Giải:

Nhìn vô hình vẽ tao thấy MR và NS là hai tuyến phố trung tuyến hạn chế nhau bên trên G suy rời khỏi G là trọng tâm của tam giác.

Do bại tao điền được số như sau:

a) MG=2/3.MR;GR=1/3.MR;GR=1/2.MG

b) NS=2/3.NG;NS=3GS;NG=2GS

Bài 25- Trang 67 SGK Toán 7: Cho tam giác vuông ABC sở hữu nhị góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách kể từ trọng tâm G cho tới đỉnh A của tam giác ABC.

Định lý: Trong một tam giác vuông, đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi vì 1/2 cạnh huyền. Dựa vô ấn định lý này, hãy giải vấn đề sau:

Giải:

Áp dụng ấn định lí Pitago mang đến ΔABC vuông bên trên A, tao có:

BC2=AB2+AC2=32+42=25

⇒BC=5cm

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của ΔABC.

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi vì 1/2 cạnh huyền nên AM=12BC.

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG=23AM⇒AG=23.12.BC

⇒AG=13.BC=13.5≈1.7cm

Bài 26: Trang 67 – SGK Toán 7: Chứng minh ấn định lí: Trong một tam giác cân nặng, hai tuyến phố trung tuyến ứng với nhị cạnh mặt mũi thì đều bằng nhau.

Giải:

ΔABC cân nặng bên trên A => AB = AC.

Gọi M, N thứu tự là nhị trung điểm của cạnh AB và AC, suy ra:

AN = BN = AM = CM (=12 AB = 12 AC)

Xét ΔBAM và ΔCAN có:

Góc A chung
AB = AC
AM = AN

=> ΔBAM = ΔCAN (c.g.c) => BM = công nhân (đpcm)

Bài 27: Trang 67 – SGK Toán 7: Hãy minh chứng ấn định lí hòn đảo của ấn định lí trên: Nếu tam giác sở hữu hai tuyến phố trung tuyến đều bằng nhau thì tam giác bại cân.

Giải:

Vẽ ΔABC. Gọi M, N thứu tự là trung điểm của AC và AB và gọi G là trọng tâm của tam giác.

Theo đề bài: công nhân = BM.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: CG = 23 CN; BG = 23 BM.

Suy ra: CG = BG.

Ta có: NG = công nhân – CG = BM – BG = GM.

Xét tam giác BGN và CGM có:

CG = BG (cmt)

G1ˆ=G2ˆ (đối đỉnh)

NG = GM (cmt)

⇒ΔBGN=ΔCGM(c−g−c)

⇒BN=CM

Mà M, N là trung điểm AB, AC nên AB = AC.

Vậy tam giác ABC cân nặng bên trên A.

Bài 28: Trang 67 – SGK Toán 7: Cho tam giác cân nặng DEF cân nặng bên trên D và DI là đàng trung quyến.

a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì?

c) sành DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính chừng nhiều năm đoạn DI.

Giải:

a) Xét ΔDEI và ΔDFI có:

DE = DF (ΔDEF cân)
DI là cạnh công cộng.
IE = IF (DI là trung tuyến)

=> ΔDEI = ΔDFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI => DIEˆ=DIFˆ

mà DIEˆ+DIFˆ=1800 ( kề bù)

nên DIEˆ=DIFˆ=900

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm.

ΔDIE vuông bên trên I => DE2=DI2+EI2 (định lí Pitago)

=> DI2=132–52=144

=> DI=12.

Bài 29: Trang 67 – SGK Toán 7: Cho tam giác đều ABC sở hữu G là trọng tâm. Chứng minh rằng: GA = GB = GC

Giải: Áp dụng ấn định lí tiếp tục minh chứng ở bài xích tập luyện 26.

Gọi M, N, E là uỷ thác điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = 23AM; GB = 23BN; GC = 23CE (1)

Vì ∆ABC đều nên phụ vương đàng trung tuyến ứng với phụ vương cạnh BC, CA, AB bởi vì nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2) => GA = GB = GC

Bài 30: Trang 67 – SGK Toán 7: Cho tam giác ABC sở hữu trọng tâm G. Trên tia AG lấy điểm G’ sao mang đến G là trung điểm của AG’.

a) So sánh những cạnh của tam giác BGG’ với những đàng trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh những đàng trung tuyến của tam giác BGG’ với những cạnh của tam giác ABC.

Giải:

a) So sánh những cạnh của ∆BGG’ với những đàng trung tuyến của ∆ABC BG hạn chế AC bên trên N

CG hạn chế AB bên trên E

G là trọng tâm của ∆ABC

=> GA = 2/3 AM

Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)

GG’ = 2/3 AM

Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB = 2/3 BN

Mặt khác : GM = 1/2 AG ( G là trọng tâm )

AG = GG’ (gt)

GM = 1/2 GG’

M là trung điểm GG’

Do bại ∆GMC = ∆G’MB vì :

GM = MG’

MB = MC

Góc GMC = góc G’MB

=> BG’ = CG

mà CG = 2/3 CE (G là trọng tâm ∆ABC)

> BG’ = 2/3 CE

Vậy từng cạnh của ∆BGG’ bằng 2/3 đường trung tuyến của ∆ABC

b) So sánh những đàng trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC

ta có: BM là đàng trung tuyến ∆BGG’

mà M là trung điểm của BC nên BM = 50% BC

Vì IG = 1/2 BG (I là trung điểm BG)

GN = 1/2 BG ( G là trọng tâm)

=> IG = GN

Do đó ∆IGG’ = ∆NGA (cgc) => IG’ = AN => IG’ = AC/2

– Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG’

Vì GE = 1/2 GC (G là trọng tâm ∆ABC)

=> GE = 1/2 BG

mà K là trung điểm BG’ => KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’BM (chứng minh trên)

Góc GCM = G’BM (lại góc sole trong)

=> CE // BG’ => Góc AGE = AG’B (đồng vị)

Do đó ∆AGE = ∆GG’K (cgc) => AE = GK

mà AE = 50% AB nên GK = 50% AB

Vậy từng đàng trung tuyến ∆BGG’ bởi vì 1/2 cạnh của tam giác ABC tuy nhiên song với nó

4. Cách minh chứng đàng trung tuyến lớp 9

Đề: Cho tam giác ABC, minh chứng đàng trung tuyến:

AM = (2(AC² + AB²) - BC²)/4

Giải:

Ta có: AM² = AH² + HM² = AB² - BH² + (BC/2 - BH²) = AB² + (BC²/4) - BC. BH

Mà AM² = AC² + (BC²/4) - HC. BC

Cộng theo đuổi vế, suy ra: AM² = (2 (AB² + AC²) - BC²)/4

5. Cách minh chứng đàng trung tuyến lớp 10

Công thức minh chứng đàng trung tuyến:

Bài 1: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Giải:

Gọi AD, CE, BF là những đàng trung tuyến tam giác ABC hoặc D, E, F thứu tự là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta sở hữu AD là đàng trung tuyến tam giác ABC nên

(1) AG = 2/3 AD

CE là đàng trung tuyến tam giác ABC nên

(2) CG = 2/3 CE

BF là đàng trung tuyến tam giác ABC nên

(3) BG = 2/3 BF

Ta sở hữu tam giác BAC đều nên đơn giản suy rời khỏi AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy rời khỏi AG = BG = CG

Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao mang đến AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao mang đến AE = 1/3AC. Tia BE hạn chế CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = 50% BC

Giải:

a. Xét tam giác BDC sở hữu AB = AD suy rời khỏi AC là đàng trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

AE = 1/3 AC => CE = 2/3 AC

Suy rời khỏi E là trọng tâm tam giác BCD

M là uỷ thác của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy rời khỏi AM là đàng tầm của tam giác BDC

Suy rời khỏi AM = 50% BC

Bài 3: Cho tam giác ABC cân nặng ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Giải:

a. Ta sở hữu AM là đàng trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt không giống tam giác ABC là tam giác cân nặng bên trên A

Suy rời khỏi AM vừa vặn là đàng trung tuyến vừa vặn là đàng cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông bên trên M

Áp dụng ấn định lý Pitago tao có:

AC² = AM² + MC² ⇒ 17² = AM² + 8² ⇒ AM² = 17² - 8² = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, sở hữu AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng những khoảng cách kể từ trọng tâm G của tam giác cho tới những đỉnh của tam giác.

Giải: Gọi AD, CE, BF thứu tự là những đàng trung tuyến nối kể từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy rời khỏi AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta sở hữu tam giác ABC vuông bên trên A, vận dụng ấn định lý Pitago tao có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta sở hữu ABC vuông tuy nhiên D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông bên trên A, vận dụng ấn định lý Pitago tao có:

Xem thêm: kqxsmb, xsmt, xsmn, xo so 3 mien nhanh nhat

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 centimet ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Trên trên đây là định nghĩa đàng trung tuyến là gì, tính hóa học, tín hiệu phân biệt và cơ hội giải những bài xích tập luyện đàng trung tuyến nhanh chóng tuy nhiên lực lượng INVERT công ty chúng tôi tiếp tục tổ hợp được. Mong rằng trải qua nội dung bài viết này chúng ta trọn vẹn rất có thể hiểu rằng đàng trung tuyến là gì cũng như giải các bài xích tập luyện về đàng trung tuyến một cơ hội đơn giản. Nếu sở hữu gì vướng mắc chúng ta cũng rất có thể comment bên dưới, công ty chúng tôi tiếp tục trả lời cho mình. Chúc chúng ta thành công xuất sắc.

Tags: định lý đàng trung tuyếnđường trung tuyếncách tính đàng trung tuyến điều phối trang